Kurvers og fladers krumning – med udforskning af minimalflader – Københavns Universitet

Bjørn Grøn, Rysensteen Gymnasium

Projekt: Kurvers og fladers krumning
– med udforskning af minimalflader

En projektbaseret undersøgelse med intensiv brug af Maple

Om Projektet

Projektet Kurvers og fladers krumning – med udforskning af minimalflader er afslutningen på et langt forløb, som klassen har arbejdet med on/off gennem alle tre år. Klassen er en studieretning med over-skriften science og innovation. Den er født med mat A, fys A og kemi B. Klassen var yderligere en slags pilotklasse til afprøvning af en række initiativer til styrkelse af matematik og science på Rysensteen.

Arbejdsformen har alle tre år været udpræget projektorienteret – klassen gennemførte mere end 30 projekter om både kernestof og supplerende stof, se vedlagte liste.

Én af de røde tråde i arbejdet med at styrke matematik og science har været at demonstrere, at der kan etableres et godt samarbejde med universiteter og virksomheder, og at dette har en positiv effekt på undervisningen og på elevernes selvbevidsthed som science-elever. En række af disse initiativer kan læses ud af projektoversigten, men det samlede billede er betydeligt bredere, da der har været initiativer på skoleplan, hvor mere end 20 fremragende forskere inden for matematik og science har været på besøg.

En anden var at løfte brugen af værktøjsprogrammer op på et niveau, hvor de er dagsordensættende for både valg af faglige emner i undervisningen og for valg af faglig metode i tilgangen til mange af emnerne. Nøgleordene her er: Eksperimenteren – Visualisering – ”Grænseløs” Regnekraft.

Det konkrete projekt om studiet af krumningsforhold for kurver og flader i 2d og 3d udspringer af to kilder: I en af de film om matematisk forskning, jeg har været med til at lave, fortæller Steen Markvorsen om krumning og minimalflader på en måde, så dette ellers ganske vanskelige emne kan tages op i gymnasiet. Jeg ønskede at afprøve vores ide med disse 10 film  – at de skal åbne elevernes øjne for hvad matematisk forskning er – og afprøve om de projektmaterialer, jeg har skrevet til filmene, kan anvendes.

Den anden kilde er kontakten med Tobias Colding på MIT, som måske er den i verden, der ved mest om minimalflader. Det lykkedes at etablere kontakt til skoler i Boston-området, så studieturen i 3.g kunne gå dertil. Og Tobias har et par gang holdt gæsteforedrag på skolen, og bl.a. fortalt om nogle af de overraskende anvendelser teorien for minimalflader har.

Jeg formulerede følgende mål for projektet:

Generelt: At anvende Maple til at håndtere kurver og flader i 2d og 3d som grafiske repræsentationer af formeludtryk, dels som funktioner af en og to variable, dels som parameterfremstillinger – uden først at have gennemført en formel indføring af vektorbegrebet, eller studeret differentiabilitet af funktioner af flere variable.

Specielt: At kunne anvende Maple og indsigt i differentialregning til at karakterisere stationære punkter og krumningsforhold for kurver og flader – uden at introducere Taylorrækker.

Perspektiv: At åbne for en indsigt i hvad minimalflader og flader med konstant middelkrumning er, samt udforske nogle af de ikoniske flader ved hjælp af Maple – uden at først at skulle indføres i partielle diffe-rentialligninger og forstå hvad fundamentalformerne er.

Den grundlæggende didaktiske overvejelse er altså:

  • At stille ”interessante” matematiserings- og modelleringsopgaver tidligt i et forløb om et nyt emne.
  • At bruge Maple som værktøj til visualisering, matematisk modellering og til at eksperimentere sig frem til en vis indsigt, som så efterhånden gives fast grund under fødderne. 
  • At udfordre eleverne ved hele tiden at sætte overlæggeren højt.
  • At studere et svært emne ved – i et langt forløb – gentagne gange at vende tilbage til de samme spørgsmål, men hver gang møde dem med nye værktøjer og en større faglig bredde og modenhed.
  • At tænde eleverne ved at lade dem (møde og) få et kig ind i nulevende (!) matematikeres forskning 

Refleksioner over praksis

Et projekt om Kurvers og fladers krumning – med udforskning af minimalflader kan ikke føres til vejs ende uden eleverne har rigtig godt styr på begreber og metoder fra differentialregning, på funktioner af to variable, og deres grafiske repræsentation, og på vektorfunktioner og parametriserede flader. Følger vi den traditionelle ”kronologi” i rækkefølgen af emner, der skal gennemgås på denne vej, så kan det nok forekomme urealistisk i et gymnasieforløb. Og emner som minimalflader var helt uden for rækkevidde før værktøjernes tid.

Et af metamålene med projektet har været at undersøge om det giver god mening – med intensiv brug af værktøjerne – at udvikle en undervisning om disse emner ved at vende den traditionelle ”kronologi” på hovedet: At kaste sig ud i opgavetyper, der normalt vil ligge langt fremme i et forløb, anvende det, vi har lært fra differentialregningen i én variabel og så studere snitkurver, niveaukurver, sammenhængen mel-lem de partielle aflede og ekstrema, de dobbelt aflededes betydning, at gennemføre sammensat differen-tiation af vektorfunktioner via analogibetragtninger mm.

I rapporten over projektet i 1.g er gjort rede for, hvordan eleverne fra dag 1 blev kastet ud i at anvende Maple til at løse optimeringsproblemer, der normalt hører til langt henne i 2.g.

I rapporten over projektet i 2.g gøres rede for, hvordan eleverne blev kastet ud i at arbejde med krum-ningsbegrebet og anvende dette på parametriserede flader før de havde fået en systematisk undervisning om vektorregning.

I 3.g afsluttede vi ved at sammenfatte hele det lange forløb i et projektoplæg, som førte frem til en eksperimentel undersøgelse af minimalflader.

Det er min vurdering, at denne stadige gentagelse og repetition, der har præget hele forløbet, har været en af kilderne til at det blev en succes. Eleverne har således set Steen Markvorsens film adskillige gange, ligesom vi to gange deltog i arrangementer på DTU, hvor 2. gang både rummede nyt og gentagelser

Konklusioner

Eleverne gav undervejs ofte udtryk for, at det var hårdt. Men værktøjerne gjorde, at altid kunne komne i gang. Og erfaringen fra det lange treårige forløb var også, at eleverne hurtigt begyndte at anvende alle disse begreber fra undersøgelsen af kurver og flader og fra optimering hjemmevant i andre sammen-hænge. Det blev særlig tydeligt i det lange repetitionsforløb i 3.g, hvor eleverne arbejdede selvstændigt med igen at tilegne sig den matematiske teori bag alle de emner, vi har haft i spil. De blev gode!

Så det korte svar er at det giver god mening! Med Maple kan man hente områder ind i undervisningen, der var lukket land før. Det er med til at gøre eleverne endnu mere begejstrede for matematik.