Krumningsforhold og ekstrema for kurver og flader i 2d og 3d – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > Krumningsforhold

Bjørn Grøn, Rysensteen Gymnasium

Krumningsforhold og ekstrema
for kurver og flader i 2d og 3d

En projektbaseret undersøgelse med intensiv brug af Maple

Om Projektet

Studieretningen, der hedder science og innovation, er født med mat A, fys A og kemi B. Klassen betragtes som en slags pilotklasse til afprøvning af en række initiativer til styrkelse af science på Rysensteen. Arbejdsformen er hovedsageligt projektorienteret, hvor vi indtil nu har gennemført omkring 20 projekter om både kernestof og supplerende stof. Vi har etableret et godt samarbejde både med universiteter og virksomheder, hvor klassen som helhed eller grupper af eleverne har været på besøg på matematisk institut, på DTU, på Niels Bohr Instituttet, på C-14 laboratoriet på Moesgaard, på Terma Space, på MIT i Boston, på ESA’s store forskningsinstitution i Nordwijk, og vi har haft besøg af en lang række fremragende forskere inden for matematik og science.

Det konkrete projekt om studiet af krumningsforhold for kurver og flader i 2d og 3d udspringer af to kilder: I en af de film om matematisk forskning, jeg har været med til at lave, fortæller Steen Markvorsen om krumning og minimalflader på en måde, så dette ellers ganske vanskelige emne kan tages op i gymnasiet. Den anden kilde er kontakten med Tobias Colding på MIT, som måske er den i verden, der ved mest om minimalflader. Så for at klæde eleverne godt på til mødet med Tobias tog vi fat. Vi er i 2. g, har lært differentialregning, herunder om krumning og den anden afledede for grafer, men kender ikke meget til fx vektorer.

Jeg formulerede følgende mål for projektet:

Generelt: At anvende Maple til at håndtere kurver og flader i 2d og 3d som grafiske repræsentationer af formeludtryk, dels som funktioner af en og to variable, dels som parameterfremstillinger – uden at have gennemført en formel indføring af vektorbegrebet, som først vil ske i 3.g

Specielt: At kunne anvende Maple og indsigt i differentialregning til at karakterisere stationære punkter og krumningsforhold for kurver og flader – uden at introducere Taylorrækker.

Perspektiv: At åbne for en indsigt i hvad minimalflader og flader med konstant middelkrumning er – emner der vil være genstand for en videreførelse af projektet i 3.g

Den grundlæggende didaktiske overvejelse er altså:

  • At stille ”interessante” matematiserings og modellerings opgaver tidligt i et forløb om et nyt emne
  • At bruge Maple som værktøj til visualisering, matematisk modellering og til at eksperimentere sig frem til en vis indsigt, som så efterhånden gives fast grund under fødderne. Men måske først senere, i 3.g 

Refleksioner over praksis

Studiet af parameterkurver og parametriserede flader, og studiet af funktioner af flere variable bygger naturligvis på, at vi har godt styr på funktioner af en variabel. Men skridtet fra en til flere variable er jo ikke blot en generalisering, mange nye – og spændende og af og til overraskende – fænomener opstår når vi dykker ned i dette nye område. Følger vi den traditionelle ”kronologi” i rækkefølgen af emner, der skal gennemgås på denne vej, så kan det nok forekomme urealistisk i et gymnasieforløb. Et af metamålene med projektet er at undersøge om det giver god mening – med intensiv brug af værktøjerne – at udvikle en undervisning om disse emner ved at vende den traditionelle ”kronologi” på hovedet: At kaste sig ud i opgavetyper, der normalt vil ligge langt fremme i et forløb, anvende det, vi har lært fra differentialregningen i én variabel og så studere snitkurver, niveaukurver, sammenhængen mellem de partielle aflede og ekstrema, de dobbelt aflededes betydning osv. Eleverne tager i forbløffende grad imod, givetvis fordi værktøjerne altid gør, at de kan komme i gang.

En af udfordringerne i disse to projekter var, at indføre vektorbegrebet og vektorfunktioner, når vi havde brug for det. Her hjælper det givetvis meget, at det er en mat-fys klasse, hvor fysiklæreren har en god matematisk tilgang til mange fysiske problemer. Det afsluttende projekt om parametriserede flader førte frem til eksempler på beregning af middelkrumning, men teorien gennemgås først i forbindelse med projektet i 3.g

I det vedlagte dokument er der givet en summarisk oversigt over det samlede forløb, med links til de forskellige dokumenter, projektopgaver, arbejdsark og elevbesvarelser. Jeg er ikke en stor tilhænger af skabelonark, så jeg udleverede ikke sådanne. Strategien er i stedet, at eleverne skal opbygge deres egne ark og lære at stille spørgsmål til Maple.

Konklusioner

Det samlede forløb strakte sig over 12 lektioner (a 1,5 timer), samt to afleveringer. Som det fremgår af projektmaterialerne er en del kernestof og eksamensopgaver integreret heri – anvendes den metode kan man nå ganske mange forløb om supplerende stof på et A-niveau. Jeg ville gentage forløbet i en ny 2.g science, men vil overveje om der kan laves yderligere shortcuts i 2.g, så vi havde lidt mere tid til at dvæle ved flader med konstant middelkrumning. Men det kommer så i 3.g. Maple et fantastisk værktøj til at hente områder ind i undervisningen, der var lukket land før. Og det er derfor et godt redskab til bevare gløden i elevernes øjne.