Kontinuitet og differentiabilitet – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > Kontinuitet og differe...

Jesper Thrane, Christianshavns Gymnasium
1.g

Kontinuitet og differentiabilitet 

En visuel introduktion

Om Projektet

Projektet startede med den iagttagelse, at differentialregningen ofte er der, hvor mange elever på b-niveau for alvor bliver sat af. Jeg havde den ide, at en af forklaringerne var, at den geometriske side af differentialregningen ofte blev overskygget af den algebraiske i min undervisning. Desuden oplevede jeg et alt for stort sammenfald mellem de egenskaber, jeg skulle lære dem: Kontinuitet og differentiabilitet, og de funktioner vi arbejder med. ’Gymnasiefunktionerne’ er i store træk alle sammen kontinuerte og differentiable i hele deres definitionsmængde. De skal altså lære om egenskaber ved funktioner, som er fælles for stort set alle de funktioner de kender.

Ud fra disse overvejelser, så besluttede jeg at lave et forløb til mine 1g’ere, hvor eleverne dels mødte funktioner som (åbenlyst) ikke er kontinuerte/differentiable, og dels var så visuelt som muligt. Ideen er, at hvis de først ved (kan se) hvad det går ud på, så er det nemmere for dem at forholde sig til definitioner/beregninger, når vi går i gang med emnet i 2g.

Refleksioner over praksis

Vi brugte to gange to timer på at arbejde med det Maple-ark jeg havde lavet. Det starter med nogle basale øvelser omkring brug af funktioner ’for at komme i gang’, og det viste sig at være en rigtig godt ide. Det var faktisk her, at eleverne henvendte sig mest for at få hjælp.

Jeg havde på forhånd overvejet, om den tekniske side ville komme til at fylde for meget, men sådan virkede det ikke. De overvejelser som eleverne sad med - både når de havde brug for hjælp og når de snakkede sammen - var i overvejende grad rettet mod indholdet af opgaverne, og ikke i særlig grad mod ’hvordan det skal tastes’. Jeg gav dem lov til at arbejde i par, hvis de havde lyst til det.

Opgaverne omkring kontinuitet går i store træk ud på, at de skal ’lukke huller’ i grafen for en stykvist lineær funktion, og i differentiabilitet at de skal lave en glat overgang fra eksempelvis et 2.gradspolynomium til en ret linje. Det var markant, at næsten alle elever holdt sig til det visuelle - der er mange opgaver, hvor man kan beregne b, men her valgte næsten alle at ’prøve sig frem’. Efter at have tænkt over det, så tager jeg arket frem igen i 2g., dels så vil de kunne genopfriske dele af det, og dels så vil jeg få dem til at beregne nogle af koefficienterne denne gang. I forhold til differentialregning fik vi Maple til at beregne differentialkvotienten, og der bliver det interessant at se, om de kan koble den forståelse de fik på den mere formelle tilgang, som kommer i 2g.

Konklusioner

Tiden vil vise, om den visuelle introduktion vil hjælpe eleverne, til bedre at kunne håndtere differentialregningen når de møder den i 2g. Allerede nu er det tydeligt, at det var positivt at arbejde med funktionsbegrebet som sådan, og hvor godt et værktøj/emne stykvist definerede funktioner egentlig er i denne sammenhæng. Det kan være, at man med fordel kan arbejde fokuseret med funktionsbegrebet endnu tidligere, så begreberne kontinuitet og differentiabilitet på den måde kunne træde endnu tydeligere frem.