Introduktion til differentialligninger (II) – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > Introduktion til diffe...

Torkild Enge, Fjerritslev Gymnasium
3.g A

Introduktion til differentialligninger (II)

Mapleark som udgangspunkt for en grafisk og forskriftsmæssig forståelse af differentialligninger

Om Projektet

En del elever føler sig usikre på begrebet differentialligninger. De har svært ved at forklare hvad en differentialligning er, og se hvornår de er færdige med at løse en opgave om differentialligninger. Dette forløb sigter derfor på at give eleverne en grundlæggende intuitiv forståelse for differentialligninger ud fra to tilgange: en grafisk tilgang, som tager udgangspunkt i elevens forforståelse af differentialkvotienten som grafens hældning, og en forskriftmæssig tilgang, der tager udgangspunkt i at kunne afgøre om en funktion er løsning til en given differentialligning ud fra dens forskrift.
Hver af disse tilgange er repræsenteret ved et arbejdsark i Word: grafisk.docx og forskrift.docx.

Forløbet har været gennemført over 2 moduler af 90 minutter på et 3g hold med matematik A i studieretningen i efteråret 2015.

Refleksioner over praksis

Den grundlæggende ide med den grafiske tilgang er at give eleverne en forståelse af at differentialligninger beskriver hvordan en funktion udvikler sig, ud fra hvad dens x- og y-værdier er.  Eksempelvis at en kop kaffe nedkøles hurtigere jo varmere den er.  Selvom der i arbejdsarket er vejledning i hvordan man laver et retningsfelt i Maple, er det nødvendigt med en introduktion i hvordan de tegnes og aflæses.

Det viste sig heldigt at klasselokalet var udstyret med whiteboard, så retningsfeltet fra maple kan projekteres op på tavlen, og forskellige løsningskurver, kan tegnes ind med tusch.

Den grundlæggende ide med den forskriftmæssige tilgang, er at eleverne kan se sammenhængen med almindelige ligninger, hvor en løsning er ”et tal som passer ind” og en differentialligning hvor løsningen er ”en funktion som passer ind”. Her er tanken at CAS-programmet bruges til at finde de afledte funktioner, sådan at eleverne kan koncentrere sig om, hvorvidt funktionerne ”passer ind” i ligningen, snarere en om hvordan det nu lige er man differentierer dem.

Her har det vist sig vigtigt at eleverne er opmærksomme på at ligninger godt kan have mere end én løsning. Her er andengradsligninger et godt eksempel.

Konklusioner

Forløbet har ikke elimineret elevernes vanskeligheder med differentialligningsbegrebet, men det lader til at have skabt en referenceramme, der kan bruges til at arbejde med begrebet. Mange af de spørgsmål eleverne har haft til begreber og opgaver med differentialligninger, har kunnet besvares ved at henvise til øvelserne lavet i det indledende forløb.  F.eks. ”Når de her i opgaven skriver at vi skal finde den løsning hvis graf går igennem (2,7) svarer det til dengang vi kunne få forskellige løsningskurver i retningsfeltet.”

Forløbet giver også et godt afsæt til at tale om generelle og partikulære løsninger.

Eleverne virker, set i forhold til tidligere hold, bedre til at forstå opgaver som ”undersøg om funktionen  er løsning til differentialligningen”, hvilket kan skyldes at de har fået differentialligningsbegrebet introduceret gennem sådanne spørgsmål.