Introduktion til differentialligninger – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > Introduktion til diffe...

Nikolaj Andersen, Fjerritslev Gymnasium

Introduktion til differentialligninger (I)

Om Projektet

Ideen er at introducere differentialligninger med en ”top-down” tilgang for at skabe så meget overblik fra starten af forløbet som muligt. Introduktionen tager udgangspunkt i et gennemarbejdet eksempel, hvor kursisterne først bliver introduceret til en problemstilling, hvori der indgår en differentialligning. Herefter skal løsningerne til denne differentialligning udforskes vha. passende Maple interaktion, således at kursisterne får en god forståelse for begreberne "løsningskurve" og "løsning til differentialligning". Du kan læse mere om selve ideen til projektet og den proces der gav anledning til den i den udvidede projektbeskrivelse.

Refleksioner over praksis

Forløbet startes med at introducere begreber som "differentialligning", "løsningskurve" og "begyndelsesværdi" på en sådan måde at kursisterne kan få konceptet til at passe ind i den ramme som de allerede kender. Senere i forløbet skal vi så dykke ned i detaljerne. Jeg forventer at denne introduktion vil klæde eleverne godt på til efterfølgende at gå dybere ned i teorien, og at man løbende kan henvise tilbage til dette første eksempel og repetere begreber.

Det centrale i det første modul i forløbet er en gennemgang af et godt eksempel på en differentialligning. Godt betyder i denne sammenhæng at differentialligningen let kan forklares for eleverne i forhold til naturvidenskabelige fakta, hvor eleverne har en forforståelse der kan tages udgangspunkt i. Herefter løses differentialligningen i Maple, og der eftervises på tavlen at løsningen er korrekt. Dernæst vises hvordan løsningskurverne ser ud ved hjælp af Explore(DEPlot(....)), hvilket i første omgang skal være en "sort boks" for kursisterne. Dette skal afføde en diskussion i klassen af hvad der observeres. Eksempelvis hvor ses løsningskurven? Hvad betyder denne ift. vores eksempel/model? Hvad sker der når jeg bevæger en "slider"? Hvad betyder det at bevæge en givet "slider" ift. vores problemområde.

Dette følges op med en sekvens på klassen hvor der arbejdes med opgaver der skal hjælpe med at opklare forståelsesmæssige problemer. Alle dokumenterne er samlet i følgende Zip-fil.

Erfaring: Eleverne tog rigtig godt imod øvelserne, hvor de skal fortolke på ”sliderens placering” i forhold til eksemplet/konteksten. Øvelserne gav anledning til en god diskussion, hvor det var muligt at koble elevernes egen intuition omkring grafens udseende med det konkrete eksempel. Eksempelvis, hvordan ser løsningskurven ud, hvis man sætter teens starttemperatur til 0 grader? Da vil teen i stedet blive opvarmet – og hvordan passer det med grafen?

Konklusioner

Jeg synes at eleverne har fået en god start på forløbet med differentialligninger. Det virker til at alle har forstået hvad en differentialligning er, og vi har fået opbygget en fælles referenceramme med det første eksempel. Det virker som en god ting at have dette eksempel at henvise tilbage til, og det har jeg efterfølgende brugt tit. Det har virket godt at kombinere Maple-interaktionen med opgaver hvor man skal undersøge (ved udregning i hånden) om en givet funktion er løsning til en givet differentialligning. Jeg har så at sige forsøgt at "ramme eleverne" fra to sider: De har den grafiske/visuelle vinkel, og den teoretiske vinkel med udregninger. Begge vinkler sigter mod at skabe en forståelse af hvad en "løsning" til en differentialligning er.