Potensfunktioner – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > Skoleprojekter > Vækst-sammenhænge > Potensfunktioner

Frederiksberg Gymnasium

Potensfunktioner

Om projektet

Vores fokuspunkter har været at hjælpe eleverne til at overvinde nogle knaster i forståelsen af centrale matematiske begreber:

  • At udvikle robuste begreber (dvs. bruge nogle ord nu, som ikke spænder ben for den senere forståelse).
  • At forstå og anvende funktionsbegrebet f(x) (symbolsprog generelt)
  • At forstå sammenhængen mellem vækstrate og fremskrivningsfaktor
  • At opnå en både abstrakt og konkret forståelse af konstanternes betydning, funktionens egenskaber og grafens udseende
  • At erkende forskellene mellem lineær vækst, eksponentiel vækst og potensvækst.

Lidt mere konkret:

  • a betyder noget forskelligt i lineære, eksponentielle funktioner og potensfunktioner
  • Konstanten b’s anderledes betydning (f(1))
  • Konstanten a’s betydning (f(cx)=ca f(x))
  • Forskellen på absolut og relativ vækst (forskellen på absolut tilvækst og procentvækst)
  • Forskellen på positiv og voksende
  • To slags voksende potensfunktioner
  • Væksthastighed til beskrivelse af, om kurvens stejlhed vokser eller aftager
  • Ligefrem- og omvendt proportionalitet (vi ønsker at opnå at eleverne kan bruge de rigtige ord til at beskrive en ligefrem proportionalitet - både forstået som en lineær sammenhæng og som en potensfunktion)

Refleksioner over praksis

Vi har især anvendt tre kategorier af GeoGebra materialer:

  1. Graf-eksperimenter med skydere
  2. Klik-beviser
  3. Autogenererede og selvrettende opgaver

Pædagogiske overvejelser over fordele og ulemper ved de tre kategorier:

ad 1) Formål: Bedre begrebsforståelse gennem induktive tilgange/eksperimenter. Især “mellemgruppen” har udbytte af dette. De svageste har svært ved at få eksperimenterne til at fungere eller ved at forstå deres matematiske indhold - de stærkeste har en abstraktionsevne, så eksperimenterne ikke er så nødvendige.

ad 2) Formål: Differentiering i individuelt tempo og selvstændig refleksion med læreren som vejleder. Klik-beviser i forhold til tavle og videobeviser: Fordelene er, at der er lagt op til refleksionspauser ved hvert trin i beviset, og at der kan illustreres sideløbende med “lag” på en graf. Beviset kan gentages efter behov.

Der er lagt op til, at eleverne først forsøger selv at gennemføre beviset ud fra et resumé. En ulempe er, at eleverne let bliver fristet til at sætte flueben i alle klik-boksene inden de går i gang med opgaven. 

Idéer til forbedring af opgavetypen:

  • At eleverne fristes til at klikke i alle boksene, kan måske løses teknisk?
  • Indføre hints i bevis-trinene.
  • Klik-bokse kan udnyttes til opgaveregning. F.eks. til at give en hint. 

ad 3) Formål: Bedre mulighed for differentieret tempo i undervisningen, idet eleverne individuelt kan vælge at gentage øvelserne et antal gange, der modsvarer deres behov. Den selvrettende funktion frigør lærerressourcer til særlig støtte til de svageste. 
Opgavetypen er bedst egnet til rutine-træning af grundlæggende færdigheder.

Ulempe: Det tager lang tid at lave opgaverne. Men der findes allerede en del under materialer på tube.geogebra.org. Opgavetypen er uegnet til anvendt matematik og mere komplekse opgavetyper.

Fordel: Når en opgavetype først at færdiglavet, så kan skabelonen redigeres til andre opgavetyper.

Idéer til forbedring af opgavetypen: Differentiering i sværhedsgrad?

Gode råd til det tekniske:

  • GeoGebra virker med det samme hos alle elever, hvis arbejdsarkene lægges på tube.geogebra.org
  • Links til GeoGebra med tilhørende arbejdsspørgsmål direkte på GeoGebra-tuben

Konklusioner

Den induktive, eksperimentelle tilgang, som CAS muliggør, støtter begrebsdannelsen - måske især i ”mellemgruppen”. Eleverne er glade for at få øjeblikkelig feedback i de autogenererede og selvrettende opgaver. Det er samtidig en tryg ramme at få feedback i. Der er god mulighed for at undervisningsdifferentiere.

Når mellemgruppen og stærke elever arbejder selvstændigt med CAS-forløb, giver det læreren mulighed for at koncentrere sig om at støtte de svageste elever.

CAS giver mulighed for at indføre afvekslende, elevaktiverende arbejdsformer.

Måske generelle forskelle på erfaringerne på A- og B-niveau:

  • Ofte behov for først at demonstrere brugen af en tube på skærm i klassen på B-niveau
  • På A-niveauet er der succes med at køre længere forløb med selvstændigt CAS-arbejde, hvor B-niveauet fungerer bedst med korte CAS-forløb.

CAS-redskabet kan hverken på det ene eller det andet niveau stå alene. Der skal suppleres med håndholdt matematik og fokus på mundtlighed.

Materiale med potensfunktioner

Et kapitel om potensfunktioner på Lisbeths matematik.

To arbejdsark om eksperimenter med skydere om potensfunktioner og a’s betydning for grafens forløb: potensopgaver 1 og potensopgaver 2 fra Peters forløb. Træningsapp om potensregneregler.

I Lisbeths matematik:

  1. Grafens udseende med opgaver hvor eleverne skal:
    1.1: Undersøge betydningen af konstanterne a og b ved selv at indtaste en potensfunktion med skydere for konstanterne.
    1.2: Kontrollere deres viden om a’s betydning for grafens udseende i et autogenereret og selvrettende GeoGebra arbejdsark.
    1.3: Give deres bud på en sproglig formulering af konstanternes betydning for grafens udseende i et spørgeskema i Google med multiple-choice spørgsmål. Svarene sendes til læreren.
  2. Potensvækst med opgaver hvor eleverne skal:
    2.1: Undersøge potensvækst ud fra et GeoGebra arbejdsark med skydere.
    2.2: Formulere deres svar på spørgsmålet: Hvad er potensvækst? Igen ud fra et GeoGebra arbejdsark med skydere.
    2.3: Beregne potensvækst i et autogenereret og selvrettende GeoGebra arbejdsark, og derved se nærmere på sammenhængen mellem tabelværdier og potensvækst.
  3. Bevise formlen til beregning af a og b ud fra to punkter på grafen. Hertil anvendes et klik-bevis i GeoGebra med mulighed for at vælge imellem at få et vink eller se facit undervejs.

Materiale med elementære vækstfunktioner

(lineære-, eksponentielle- og potensfunktioner)

I Lisbeths matematik:

  • Elementære vækstfunktioner i et autogenereret og selvrettende GeoGebra arbejdsark hvor eleverne kan teste om de kan koble grafens udseende med den rigtige type vækst, funktionsforskriften og fortegnet for og størrelsen af konstanten a.
  • Her er den omvendte opgave: skitser grafen for en given vækstfunktion med papir og blyant. Opgavepapiret er her - bør printes på A3-papir.
  • Ligefrem og omvendt proportionalitet i et autogenereret og selvrettende GeoGebra arbejdsark.

Forløbseksempel - potens.