Eksponentielle funktioner – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > Skoleprojekter > Vækst-sammenhænge > Eksponentielle funktioner

Frederiksberg Gymnasium

Eksponentielle funktioner

Om projektet

Vores fokus har været at hjælpe eleverne til at overvinde følgende knaster i forståelsen af centrale matematiske begreber:

  • forståelse og anvendelse af funktionsbegrebet f(x) (symbolsprog generelt)
  • sammenhængen mellem vækstrate og fremskrivningsfaktor, særligt ved aftagende funktioner
  • konstanternes betydning for funktionens egenskaber og grafens udseende
  • forskellen på absolut og relativ vækst (forskellen på absolut tilvækst og procentvækst)
  • det udvidede potensbegreb (særligt at noget i 0’te ikke er nul…)
  • den forskellige betydning af a i lineære og eksponentielle funktioner   

Refleksioner over praksis

Vi har især anvendt tre kategorier af GeoGebra materialer:

  1. Graf-eksperimenter med skydere
  2. Klik-beviser
  3. Autogenererede og selvrettende opgaver

Pædagogiske overvejelser over fordele og ulemper ved de tre kategorier:

ad 1) Formål: Bedre begrebsforståelse gennem induktive tilgange/eksperimenter. Især “mellemgruppen” har udbytte af dette. De svageste har svært ved at få eksperimenterne til at fungere eller ved at forstå deres matematiske indhold - de stærkeste har en abstraktionsevne, så eksperimenterne ikke er så nødvendige).

ad 2) Formål: Differentiering i individuelt tempo og selvstændig refleksion med læreren som vejleder. Klik-beviser i forhold til tavle og videobeviser: Fordelene er, at der er lagt op til refleksionspauser ved hvert trin i beviset, og at der kan illustreres sideløbende med “lag” på en graf. Beviset kan gentages efter behov.

Der er lagt op til, at eleverne først forsøger selv at gennemføre beviset ud fra et resumé. En ulempe er, at eleverne let bliver fristet til at sætte flueben i alle klik-boksene inden de går i gang med opgaven. Idéer til forbedring af opgavetypen:

  1. At eleverne fristes til at klikke i alle boksene, kan måske løses teknisk?
  2. Indføre hints i bevis-trinene.
  3. Klik-bokse kan udnyttes til opgaveregning. F.eks. til at give en hint. 

ad 3) Formål: Bedre mulighed for differentieret tempo i undervisningen, idet eleverne individuelt kan vælge at gentage øvelserne et antal gange, der modsvarer deres behov. Den selvrettende funktion frigør lærerressourcer til særlig støtte til de svageste.
Opgavetypen er bedst egnet til rutine-træning af grundlæggende færdigheder.

Ulempe: Det tager lang tid at lave opgaverne. Men der findes allerede en del under materialer på tube.geogebra.org. Opgavetypen er uegnet til anvendt matematik og mere komplekse opgavetyper.
Fordel: Når en opgavetype først at færdiglavet, så kan skabelonen redigeres til andre opgavetyper.

Idéer til forbedring af opgavetypen: Differentiering i sværhedsgrad?
Gode råd til det tekniske:

  • GeoGebra virker med det samme hos alle elever, hvis arbejdsarkene lægges på tube.geogebra.org
  • Links til GeoGebra med tilhørende arbejdsspørgsmål direkte på GeoGebra-tuben

Konklusioner

  • Den induktive, eksperimentelle tilgang, som CAS muliggør, støtter begrebsdannelsen - måske især i ”mellemgruppen”.

  • Eleverne er glade for at få øjeblikkelig feedback i de autogenererede og selvrettende opgaver. Det er samtidig en tryg ramme at få feedback i.

  • Der er god mulighed for at undervisningsdifferentiere.

  • Når mellemgruppen og stærke elever arbejder selvstændigt med CAS-forløb, giver det læreren mulighed for at koncentrere sig om at støtte de svageste elever.

  • CAS giver mulighed for at indføre afvekslende, elevaktiverende arbejdsformer.

Måske generelle forskelle på erfaringerne på A- og B-niveau:

  • Der er ofte behov for først at demonstrere brugen af en tube på skærm i klassen på B-niveau.

  • På A-niveauet er der succes med at køre længere forløb med selvstændigt CAS-arbejde, hvor B-niveauet fungerer bedst med korte CAS-forløb.

CAS-redskabet kan hverken på det ene eller det andet niveau stå alene. Der skal suppleres med håndholdt matematik og fokus på mundtlighed. 


Materiale:

Et kapitel om eksponentielle funktioner på Lisbeths matematik særligt kapitlet om eksponentiel vækst, hvor:

  1. Eleverne skal nå frem til særlige egenskaber ved lineær og eksponentiel vækst ud fra et GeoGebra-arbejdsark med en skyder. 
  2. Læreren får indblik i elevernes arbejde undervejs ud fra et spørgeskema i Google.
  3. Eleverne gennemfører et klik-bevis i GeoGebra med en sætning for potensvækst.
  4. Anvender sætningen om potensvækst i et GeoGebra arbejdsark med en autogenereret og selvrettende opgave. Her skal eleverne anvende en lommeregner eller et CAS-redskab ved siden af arbejdsarket.

Fra Peter Husbys forløb: Et træningsprogram om potensregning, der autogenererer opgaver med omgående respons i form af en farve.

Et arbejdspapir om Geogebra-eksperimenter om eksponentialfunktioner, et efterfølgende arbejdspapir om eksponentialfunktioner og potenser af et grundtal + en tilhørende ggb-app.

Endelig et arbejdspapir om undersøgelser af lineær kontra eksponentiel vækst med to tilhørende ggb-apps: lineær tilvækstvækst og eksponentiel vækst.