Arealfunktionen er en stamfunktion – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > Skoleprojekter > CAS på Allerød Gymnasium > Arealfunktionen

Lars Elkjær Jørgensen, Allerød Gymnasium

Arealfunktionen er en stamfunktion

Et projekt hvor eleverne induktivt opdager at arealfunktionen er en stamfunktion

Om projektet

Dette korte forløb er indlejret i det store 2.g forløb om differential- og integralregning. Forløbet blev afviklet i 2x, der er en klasse med studieretningen mat A, fys A og Ke B.
Forløbet er en videreudvikling af materiale fra Eva Danielsen, Nærum Gymnasium.
Klassen havde gennemgået differentialregning og vi påbegyndte integralregning ved at finde stamfunktioner ved ”omvendt differentiation”.

Dette forløb kom til at fylde ca. 1½ lektion. Vi startede med en lektion (95 min) hvor klassen stort set ikke havde fået lektier for.

Læreren (jeg) gav et kort oplæg om at vi skulle undersøge arealfunktionen. Denne blev introduceret og herefter blev det vist med et eksempel hvad der skulle undersøges. Ideen var at lave et formeludtryk for arealfunktionen ved hjælp af regression med et 4. grads polynomium. Undersøgelsen foregik på TI-Nspire hvor ”Areal” værktøjet blev brugt til at bestemme arealet under en graf som funktionen af øvre grænse. Nedre grænse blev fastholdt på x=0 mens øvre grænse varierede fra x=0 til x=10 i skridt på 0,5.

Efter opmåling med areal værktøjet lavedes regression på de to søjler med øvre grænse og areal værdier. Den anvendte regressionsfunktion var et 4. grads polynomium. Regressionsfunktionen blev skrevet op og små koefficienter (<0,05) blev fjernet.

Herefter gik eleverne i gang. Klassen blev opdelt i par som fik henholdsvis et 1. grads, et 2. grads og et 3. grads polynomium at bestemme arealfunktion til. Disse skulle indføres i et google docs ark og til slut skulle makkerparrene se om de kunne finde en sammenhæng mellem graffunktionen og arealfunktionen.

Lidt overraskende var det svært for eleverne at opdage sammenhængen. Det lykkedes kun for enkelte makkerpar helt til slut i lektionen.

Næste lektion vendte vi tilbage til google docs arket og tjekkede at sammenhængen passede. Vi diskuterede også hvordan et øget antal decimaler på arealbestemmelsen gav en arealfunktionen der med større nøjagtighed passede som stamfunktion. Og til slut så vi på hvad der skete hvis nedre grænse blev flyttet. Herefter gik vi videre med integralregning ved at gennemgå beviset for sammenhængen (uden CAS).

Det didaktiske fokus med projektet var at opdage at arealfunktionen er en stamfunktion og således motiverer videre arbejde med stamfunktioner. [Se Liste over funktioner til arealbestemmelse.docx og areal mange decimal.tns

Refleksioner over praksis

At undersøge størrelsen af arealer under grafer og sammenligne med funktion og stamfunktion er ikke en ny ide. Det har man også gjort før CAS værktøjets tid hvor arealer under grafer blev bestemt ved at tælle tern eller ved at klippe ud og veje på en nøjagtig vægt.

Men metoden her giver en forskrift for arealfunktionen hvilket er en styrkelse i forhold til tidligere.

Her nogle forskellige didaktiske overvejelser

  • Eleverne skulle bruge arealværktøjet (og ikke integralværktøjet som ellers er lettere) da tanken var at vi undersøgte arealer
  • Det er en stærk klasse så i stedet for en skriftlig instruktion til fremgangsmåden med at måle areal og lave regression, var det nemmere, hurtigere og fuldt tilstrækkeligt blot at vise et eksempel. Se vedlagte TI-Nspire fil med gennemgang af et eksempel 
  • Eleverne fik en liste med funktioner som de skulle undersøge, se vedlagte dokument. Funktionerne blev fordelt ved lodtrækning. Bemærk at 1. og 2. gradspolynomiet var givet mens 3. grads polynomiet selv skulle udfærdiges
  • Eleverne førte løbende deres resultater ind i et google docs ark, som blev vist på projektor. Alle kunne således følge med i hinandens arbejde og trække på det når de kom til den sidste overvejelse
  • Udelukkende at benytte forskrifter (og ikke eksempelvis graf for arealfunktionen) gør opgaven nemmere for eleverne. Det viste sig at være svært nok at se mønsteret mellem funktion og arealfunktion
  • Hvorfor regressionen skulle udføres med et 4. grads polynomium blev besvaret med at det vil vise sig at være smart, ligesom hele øvelsen var noget som eleverne fik at vide var noget som ville hjælpe dem til at indse en ny sammenhæng
  • Tidsmæssigt var forløbet meget passende men det kunne sagtens tage længere tid i en svagere klasse 

Konklusioner

Alt i alt et vellykket forløb som kan anbefales. Det havde det induktive undersøgende element samt den tekniske CAS brug. Begge dele kan være tidskrævende men her blev tidsforbruget holdt på et passende niveau. Alle elever så at arealfunktionen er en stamfunktion. De fik motivation til at arbejde videre med integralregning. De blev nysgerrige på et bevis for at arealfunktionen er en stamfunktion. Og de dygtigste elever gav sig til at tænke over den nedre grænses betydning for integrationskonstanten.

Som nævnt i indledningen er projektet en videreførelse af et projekt fra Eva Danielsen, Nærum Gymnasium. Her var der flere elementer med i form af afprøvning af forskellige regressionsfunktioner samt grafer for arealfunktionerne. Disse elementer blevet skåret fra her for at holde det didaktiske fokus, og det vurderes at være en styrkelse.