Undersøgende aktivitet om primtal – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > 2017 > Undersøgende aktivitet...

Petur Birgir Petersen,
Gefion Gymnasium

Undersøgende aktivitet om primtal

Hvis Euklids bevis for eksistensen af uendelig mange primtal anvendes til en konkret konstruktion af primtal, kommer computeren hurtigt på overarbejde!

Om Projektet

Min erfaring fra det almene gymnasium er, at elevernes motivation for at arbejde med talteori er endda meget stor. Uanset om arbejdet med talteori er koblet på en anvendelse, som f.eks. kryptologi, eller ej, så har mine elever haft en sådan glæde og engagement ved at lege med de hele tal, at de en gang imellem kommer i tvivl om hvorvidt talteori nu også er seriøs matematik. Heldigvis er emnet diskret matematik (om objekter, som er adskilt fra hinanden f.eks. de hele tal) nu medtaget i bekendtgørelsen fra 2017 i matematik på B- og A-niveau for studentereksamen: ’– begreber og metoder fra diskret matematik’

Aktiviteten bygger på følgende Mapledokument: Undersøgende aktivitet om primtal.mw

Det vil nok være bedst at give eleverne dokumentet uden output: Undersøgende aktivitet om primtal uden output.mw

De, der er interesserede i at se dokumentets indhold, men ikke har Maple, kan se på Undersøgende aktivitet om primtal.pdf

Dokumentet introducerer begrebet primtal, dels ved en definition, og dels ved at eleverne producerer primtalstabeller ud fra Erathostenes’ si og ved hjælp af kommandoer i Maple. Denne aktivitet omfatter opgaverne 1 til og med 8, og kulminerer med en søgning efter primtalstvillinger. Det er et bevidst valg, at der arbejdes med tal, som er tilstrækkeligt store til at man rent fysisk kan mærke at computeren skal bruge tid på at løse opgaverne. På den måde får eleverne en fornemmelse af, at det faktisk er tidskrævende f.eks. at faktorisere store naturlige tal.

Opgaverne 9 til og med 12 handler om Fermattal, primfaktorisering og Euklids bevis for eksistensen af uendeligt mange primtal. Den nødvendige teori introduceres i Mapledokumentet, og projektets klimaks opnås i opgave nummer 11, hvor det viser sig, at udsvingene i størrelsen af de primtal, der fremstilles efter metoden angivet i Euklids bevis, er så store, at Maple må give op, før der er fundet 20 primtal. Dette viser også bevisets styrke: Det er egentlig ikke nødvendigt at afprøve et eksempel, men det er fascinerende!

Refleksioner over praksis

Eleverne kender de naturlige tal og division med rest fra folkeskolen, og en viden om disse emner er en fuldt ud tilstrækkelig baggrund for at kunne tage fat på arbejdet med projektet Undersøgende aktivitet om primtal. Der kræves ikke andre forkundskaber i programmet Maple, end at man lige er kommet i gang med simple beregninger, idet de relevante kommandoer introduceres i Mapledokumentet. Projektet lægger op til en eksperimenterende tilgang til emnet, men samtidigt bliver eleven introduceret til spændende elementer af talteori. Tanken er at opgave 1 - 8 kan udfylde et modul af 90 minutters varighed, og opgave 9 - 12 kan udfylde yderligere et modul. Når jeg afprøvede forløbet i praksis på holdet 3vzMA, som havde matematik på A-niveau, viste det sig dog, at eleverne på dette fremskredne tidspunkt i 3.g havde et så stort matematikfagligt overskud, både med hensyn til håndteringen af Maple, og til matematiske ræsonnementer, at de kom igennem opgaverne hurtigere, end jeg havde regnet med. Opgaver 11 og opgave 12 er åbne opgaver, og kan derfor bruges til at holde de hurtige elever beskæftigede i længere tid.

Der er mange muligheder for at udvide projektet Undersøgende aktivitet om primtal til et større forløb, hvilket jeg også gjorde med det her nævnte hold: Dels arbejdede vi med teksten Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi, som kan hentes på nettet på adressen http://fys.dk/perspektiv/per/ma/09ma/download/perma09.pdf og dels med Johan P. Hansens artikel Primtalsmysterier fra bogen Matematiske Mysterier, Århus 2013. Endvidere kunne det være muligt at inddrage historisk matematik ved at tage grundigere fat i Euklids bevis for sætning 20 fra Elementernes bog nummer 9.

Konklusioner

Projektet Undersøgende aktivitet om primtal viste sig at virke helt efter hensigten, og blev opfattet af eleverne som en kærkommen afveksling i undervisningen, hvor fokus var lagt på at gå på opdagelse ved hjælp af computeren. Emnet passer fint til de nye læreplaners krav om inddragelse af diskret matematik i undervisningen for stx.