Differentialregning, tretrinsreglen – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > 2015 > Tretrinsreglen

Poul Lauritzen
Allerød Gymnasium, 2.g.

Differentialregning, tretrinsreglen

Grænseværdi samt sekant- og tangenthældninger.

Om Projektet

Dette projekt er afprøvet i en 2. g. med Samfundsfag A, Matematik B og Naturgeografi B. Det har erfaringsmæssigt været meget svært at få elever i samfundsfags klasser til at forstå tretrinsreglen.

Eleverne har benyttet TI n-Spire siden de begyndte i 1. g, og har en vis fortrolighed med dette CAS værktøj. Der blev udviklet to TI n-Spire dokumenter.

  • Det første dokument skulle guide eleverne gennem begrebet grænseværdi, som det benyttes i tretrinsreglen, hvor nævneren går mod nul. Dette dokument skulle eleverne arbejde med på egen hånd.
  • Det andet dokument viste beregning af hældningen for sekant og tangent. Dette dokument introduceredes af læreren og derefter skulle eleverne gå på opdagelse i det.

Jeg ville prøve at give eleverne en hands-on oplevelse af beregning af sekant- og tangenthældning samt grænseværdi. Fordelen ved at benytte CAS skulle gerne være, at eleverne, i eget tempo, kunne gå på opdagelse i CAS dokumentet og experimentere med det. Der blev fokuseret på, at eleverne skulle få en god forståelse for trinnene i tretrinsreglen.

Håbet var, at det ville fremmer elevernes forståelse for stoffet, at de kunne arbejde selvstændigt med emnet. Endeligt blev der i projektet sat fokus på at afdække, hvor elevernes forståelsesproblemer var.

Refleksioner over praksis

Jeg har arbejdet med dette projekt i årevis uden rigtigt at forstå hvorfor eleverne fandt det så svært. Så begyndte jeg at analysere de forudsætninger, det forventes, at eleverne besidder, for at de skulle kunne forstå hele tretrinsreglen. Og det blev lidt overvældende: 

For at få fuldt udbytte af tretrinsreglen, ved benyttelse af f(x)=x2 , forventes det, at eleverne har følgende forudsætninger:

  1. Forstår funktionsbegrebet og kan forstå at når f(x)=x2, så er f(x+h)=(x+h)2 eller f(x+Δx)= (x+Δx)2
  2. Leve med at nogle steder bruges h og andre steder Δx eller x2-x1
  3. Vi benytter f(x) og y i flæng for det samme.
  4. Kendskab til kvadratsætningen: (a+b)2=a2+b2+2ab
  5. Beregning af hældning af ret linje: 
  6. Forståelse for graftegning.
  7. Vide hvad en tangent og sekant er.
  8. Funktioner i to variable: Sekanthældningen afhænger både af x og h: s(x,h)
  9. Reduktion ved sammenlægning af ens led.
  10. Forkorte brøker.
  11. Kendskab til definitionsmængde. h≠0
  12. Forståelse for grænseværdibegrebet.
  13. Og sikkert mere jeg ikke endnu er kommet i tanke om.

Endeligt ville det også være ønskeligt at man som motivation har forståelse af at en kurves hældning angiver funktionens ændringshastighed.

I dette projekt blev der udarbejdet nSpire filer til punkterne 5, 7, 12. Det var ideen, at eleverne, efter en kort introduktion, selv skulle arbejde med nSpire filerne, og på den måde udforske problematikken. De benyttede nSpire filer blev løbende forbedret og udbygget som resultat af erfaringer fra elevernes arbejde med filerne. Problematikken blev opdelt i mindre bidder og aktiviteter blev indlagt.

Konklusioner

Projektet nåede aldrig at blive udført i sin helhed i en enkelt klasse, og derfor er det også vanskeligt at bedømme elevernes udbytte. Det kan dog siges, at på grund af det grundige forarbejde med at forklare ovennævnte punkter, kunne selve tretrinsreglen gennegås uden ret mange spørgsmål fra eleverne.

Det mest givende for mig har uden tvivl været at indse, hvor megen baggrundsviden det kræver at forstå tretrinsreglen. Selv om eleverne burde have den forventede viden, når reglen gennemgås, ses det desværre ofte, at det ikke er tilfældet.

CAS værktøjerne skulle gerne være med til at aktivere eleverne og udfordre deres lyst til at eksperimenterer og udforske matematiske problemsstillinger.

Projektet udviklede sig hurtigt til at være meget mere omfattende end forventet. Derfor blev der fokuseret på en delmængde af det, der var den oprindelige intention, og der er derfor rig mulighed for at arbejde videre med projektet fremover.

Projektet opsummeret i PowerPoint: Mange trin i tretrinsreglen.pptx