Mosaikker – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > 2015 > Mosaikker

Albena Nielsen, Lyngby TEC (nu H.C. Ørsted Gymnasium)
2.g og 3.g

Mosaikker

Et indledende forløb til lineær algebra

Om Projektet

Det faglige emne som forløbet dækker er flytninger/symmetrier i to dimensioner, dvs. lineære afbildninger på vektorer i planet. Forløbet derfor kan gennemføres både med elever på 2.g eller 3.g niveau. Det eneste præmis er at eleverne har gennemgået vektoralgebra som er kernestof ifølge HTX bekendtgørelsen på A og B niveau. Forløbet kan bruges til at dække supplerende emne. Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A på HTX fra 2014 kan eventuelt inddrages. (Se Mosaikker_Lineære afbildninger_PPP2.pdf og Mosaikker_modellering_PPP1.pdf).

Refleksioner over praksis

Maple er i dette forløb bindeledet mellem virkeligheden og den matematiske verden og derved bliver hjælpemiddelkompetencen styrket. Det anden rolle, og den egentlige interesse, som Maple har i dette tilfælde er også at skabe en forforståelse for begrebet lineærafbildning (og matricer) og hermed bidrage til begrebsbilledet for det nye matematiske objekt matricen (Tall & Vinner,1981). I forløbet bliver eleverne ikke præsenteret for, hvordan man udfører matrix-vektorprodukt netop, fordi deres relationelle forståelse for begrebet (Skemp, 1976, 1979) stimuleres. På denne måde kan man udnytte Maple’s force og vende om på black box effekten til noget positivt.

Forløbet strækker sig over 4 timer á 60 minutter. Forløbet er delt op i to dele: Fokus i den første er at få eleverne introduceret til virkelighedsudsnittet, som skal modelleres og de matematiske objekter og relationer. I den anden del skal de arbejde selvstændig. (Se Undervisning i 2 MF i forløbet Mosaikker.docx)

Selve forløbet starter med, at eleverne får vist en del mosaikker og flader med en gentagen mønstre, og bliver spurgt om, hvordan de vil beskrive de viste mønstre. Eleverne blev efterfølgende præsenteret for forløbet og modelleringen. (Se Til opgave 1 Tesselations.docx og Mosaikker.mw)

Selve matematiseringen foregik i klasserummet og der krævedes ikke overraskende massivt stilladsering i form af vejledende spørgsmål, selv om symmetrier er et geometrisk emne i folkeskolen. Den højeste elevaktivitet blev oplevet ved øvelsen, hvor eleverne i par fik udleveret forskellige mosaikker og bagepapir, og de skulle bestemme den mindste matematiske flise samt de forskellige flytninger, der karakteriserer den givne arbejdsark. Det interessante er, at nogle elever ikke printede mønstrene/mosaikkerne, men brugte direkte deres skærm og lagde bagepapiret oven på den.

Der blev efterfølgende opfrisket for eleverne grundlæggende lineær algebra og præsenteret affine afbildninger. Til sidst arbejdede eleverne med Maple-arbejdsarken i grupper af to-tre elever. Arbejdet med selve matematikken og Maple blev forløbet delt op den følgende progression (3 trin):

  1. Med en dobbelt flytning af et punkt 
  2. Herefter skulle elever lave nogle drejning og flytninger i Maple af punkter.
  3. Til sidst skulle eleverne udlede glidspejlingen ved at benytte Maple.

Igennem de 3 progressionstrin blev der talt og diskuteret matematik og Maple. Alle eleverne var meget aktive.

For at udfordre dem lidt mere blev der stillet et spørgsmål ”Er glidespejling det samme som ’spejlglidning’?” (ergo om den kommutative lov gælder for afbildningerne). Det er let for eleverne at se, hvad der sker rent fysisk, når man taler spejling, men de har svært ved at omsætte det til matematik. Nogle elever begynder at tale om sammensatte afbildninger og ser det lidt som funktioner.

En elev kommer til tavlen/projektor og forklarer sin løsning til opgaven ved bruge konkret eksempel, som kan ses geometrisk i stedet for at se på en symbolsk behandling af transformationerne. Det gør han rigtig fint. Dog var der er problemer med at få Maple til at vise det på en fornuftig måde og det tog uhensigtsmæssigt meget tid.

Afslutningsvis skulle eleverne finde en mosaik (fra det virkelige liv), som de gerne ville arbejde med, bestemme den mindste gentagne celle og symmetrierne og derved beskrive mosaikken. Der blev lidt mindre fokus på matematikken, da de igen fik udleveret bagepapir til indtegning af mønstrer. Efter de havde arbejdet lidt med deres mosaikker, begyndte de at sætte billederne ind i Maple og arbejde med spejlingslinje og flytning. Der blev igen meget aktivitet. Nogle elever gik anderledes til opgaven således, at de selv konstruerede en flise og afprøvede hvilke symmetrier, der skulle til at dække planet.

Konklusioner

Vi nåede ikke at blive helt færdige med opsamling af elevernes arbejde, så vi regner med at benytte endnu en time, hvor der naturligvis vil indgå noget opfølgning.
Det interessante er (ud fra elevernes respons), at de ikke tænker på matematiktimernes faglige kontekst, og hvilken type spørgsmål kan man stille og besvare med matematik. Derfor er det vigtigt, at der er et overtal af eksempler, hvor der er tydelige geometriske figurer, for at kunne anspore dem til fagområdet.
Efterfølgende blev vi (med coachen) enige om, at det kunne godt have været forberedt eksempler på mosaikker og symmetrier.

Det er ambivalent gevinst ved Maple. Eleverne foretrækker at arbejde med konkret taleksempel i stedet for at udlede afbildningen symbolsk, da den symbolske præsentation er uoverskuelig.

Der viste det sig, at elevers ordforåd og viden om verden er relativt begrænset. Derfor hvis tiden er ikke nok, bør underviseren sørge for at nogle dagligdags begreber bliver præsenteret.

Problemer med programmet Maple opstår, da der kun kan behandles udtryk med et vist kompleksitet, men Maple bliver rent faktisk inddraget i løsningen.