Komplekse tal – Københavns Universitet

Videresend til en ven Resize Print Bookmark and Share

Computerbaseret matematikunderv. > Afsluttede projekter > 2015 > Komplekse tal

Uwe Timm, Christianshavns Gymnasium 2015
Klasse 3gMA1

Komplekse tal

En simpel indføring af de komplekse tal: Regningsarter, polære koordinater, de Moivres sætning, enhedsrødder, den komplekse andengradsligning herunder den komplekse kvadratrod.

Om projektet

Det valgfrie emne om komplekse tal er placeret sidst i gymnasieforløbet, så eleverne dels lærer om udvidelsen af de reelle til de komplekse tal, som opstår ved løsning af polynomier og dels en repetition af centrale emner fx kvadratsætningerne, andengradsligningen, vektorer i planen, enhedscirklen og løsning af en simple første ordens differentialligning.

Til behandling af de komplekse tal har vi brugt noter (Komplekse_Tal_1.mw), med spørgsmål og opgaver til teksten. Desuden har vi brugt Maple - filer til træning af regningsarterne for de komplekse tal (KT_2a_Regningsarter.mw, KT_2b_Geometri.mw). [Mabel-filerne skal sandsynligvis downloades inden de kan åbnes].

Som bog har vi brugt ”Komplekse tal, Michael Agermose Jensen og Uwe Timm, Forlag Malling Beck, 2007” og set filmen Dimensions (se www.dimensions-math.org).

Eleverne har regnet et hjemmeopgavesæt med komplekse tal, og i timerne har vi brugt det vedhæftede materiale (KT_3_Enhedstal.mw, KT_4_kommandoer.mw).

Refleksioner over praksis

Forløbet har varet otte lektioner af en times varighed og er det sidste valgfrie emne i gymnasiet. Eleverne har arbejdet i grupper af to til tre elever og regnet opgaver fra det udleverede materiale (se ovenfor). Til at lære om de komplekse tal bruges:

  • Geometrisk fortolkning af
  • En udvidelse af de reelle tal på den reelle talakse til de komplekse tal som punkter eller en stedvektor mellem origo og punktet i planen.
  • Regningsarterne plus, minus, gange og division - herunder deres geometriske repræsentation.
  • Til at forklare multiplikation og division indføres den polære skrivemåde. 
  • De Moivres formel og den komplekse kvadratrod.
  • Ligningen af typen zn=w for naturlige tal n.
  • Løsning af andengradsligningen med komplekse koefficienter.

Eleverne har trænet regning med komplekse tal, regningsarterne, hvilket er en udfordring, da eleverne er vant til at bruge et CAS - værktøj til talbehandling. Derfor er denne kompetence blevet trænet af eleverne. Den elegante brug af den polære skrivemåde og repetition af cosinus og sinus har været nyttig for eleverne. En forståelse af periodicitet af cosinus og sinus er relevant til løsning af ligningen zn=w, hvor z og w er komplekse tal og n et naturligt tal. Desuden har vi indset, at løsningen til den simplere ligning zn=1 kan illustrere de regulære n-kanter i planen.

Konklusioner

Når man vælger et valgfrit emne i slutningen af elevernes skolegang i gymnasiet, kan det være en udfordring at få dem alle til at interessere sig for emnet og specielt, at det blot skal bruges til den mundtlige eksamen. Næste gang vil en afvikling tidligere på skoleåret være at foretrække, så eleverne bedre kan modtage undervisning i et ”svært” emne. Her skal det bemærkes, at de komplekse tal nemt kan løses ved brug af kommandoer i Maple, hvor eleverne ikke nødvendigvis forstår, hvad der sker, hvorfor en kombination af håndregning og simuleret håndregning er at foretrække. Desuden er den geometriske forståelse en hjælp for eleverne.